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HISTORIQUE DE LA GRAVITATION PRINCIPE D'EQUIVALENCE |
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CONTENU : Mis
à jour Janvier 2008, revu sept 2011, puis mars 2012
Calcul à l'intérieur de la Terre II
GRAVITATION-RELATIVITE-TROUS
NOIRS |
Une
des premières questions de mécanique que se sont posées les scientifiques de
l'antiquité jusqu'au moyen âge a concerné la chute des corps, puis plus tard le
mouvement des planètes.
Il
n'est pas question de revenir ici sur les explications les plus étonnantes et
farfelues imaginées pour expliquer la chute des corps. Même Descartes
"brodait" sur des hypothèses qui relevaient plus de la magie que de
la science.
I PESANTEUR ET GRAVITATION ? VOIR EXCELLENT SITE DU BGI.CNES
La
gravitation est une loi étonnante qui n'a le droit d'exister que là où les
autres forces fondamentales de la nature sont absentes, force électrique, force
magnétique. A masses identiques et distance identique, elle est 1040
fois plus faible que la force électrique, c'est dire si elle faible et ne peut
donc se manifester que entre corps électriquement neutres avec l'un au moins de
masse colossale.
C'est
cependant la gravitation qui a façonné en grande partie notre univers, certes
lentement sur une quinzaine de milliards d'années, mais avec comme résultat
étonnant les étoiles, puis les supernovaes qui en explosant ont ensemencé
l'univers de matériaux qui ont fini par se rassembler pour donner des planètes
et en fin de course la vie.
La
gravitation finira t-elle par arrêter l'expansion de l'univers et produire le
"big-crunch", nul ne le sait encore?
Descartes,
Huyghens, Mariotte, Roberval, Buot, Galilée etc...ont abordé le problème de la
pesanteur, sans y apporter d'explication convenable.
1°) KEPLER : En 1609 Johannes Kepler par une étude minutieuse des observations
planétaires du savant danois Tycho Brahé énonce sans démonstration, ses
fameuses lois du mouvement des planètes autour du Soleil et notamment la loi
sur les périodes ( T période, a demi grand axe d'une ellipse ):
Il
était clair que la loi de la gravitation universelle était cachée dans cette
loi, encore fallait-il avoir les moyens mathématiques de l'exploiter.
2°) NEWTON :
En
novembre 1679, HOOKE qui entretient une correspondance privée avec NEWTON,
suggère à ce dernier que la loi de la gravitation pourrait bien varier comme
l'inverse du carré de la distance, mais il ne peut le montrer. Par contre, il
propose à Newton, qui est maintenant un excellent mathématicien, disposant du
calcul différentiel et intégral, de rechercher quelle serait la trajectoire
d'un corps soumis à une force variant comme l'inverse du carré de la distance ?
Newton résolut le problème, trouva une ellipse et se garda bien de le dire à
Hooke.
Un
peu plus tard, Newton publiera le 5 juillet 1687, un traité de mécanique
rationnelle et la fameuse loi de la gravitation universelle, dans
PRINCIPIA sans citer Hooke. L'UNIVERSALITE de cette
loi apparut évidente avec l'étude des petits satellites de Jupiter ou de
Neptune, qui répondaient eux aussi à la loi des périodes.
Halley
dira de Newton : " Aucun mortel ne peut approcher plus près des
dieux".
Dans
cette avancée fondamentale de la physique, comme dans beaucoup d'autres de la
science moderne, ce sont les mathématiques qui ont permis la découverte, la
physique expérimentale ou d'observation, en apportant une précieuse
confirmation.
Tout
alla ensuite très vite, de confirmations en prédictions ou l'inverse, avec les
mouvements de nombreux satellites des planètes, celui de la Lune et
l'extraordinaire prédiction du retour en 1758 de la comète par HALLEY
comète qui était passée en 1681-1682 et qui depuis porte son nom.
Déjà,
"le ver était dans le fruit", car la mécanique newtonienne ne
parvenait pas à expliquer l'anomalie de l'avance du périhélie de l'orbite de
Mercure et n'arrivait pas non plus à expliquer la constance de la vitesse de la
lumière mesurée dans des repères en translation. Un doute ténu apparaissait
dans la théorie newtonienne, mais ses résultats étaient tellement significatifs
que les scientifiques évacuaient sans remords ces doutes.
Le
déterminisme avait fait son apparition avec des certitudes rassurantes et
puissantes. Ce déterminisme scientifique a profondément marqué les esprits de
tous les philosophes et physiciens et n'a commencé à être mis en doute qu'avec
les découvertes de la relativité d'EINSTEIN et la mécanique quantique de DE
BROGLIE.
3°) LA CONSTANTE DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE G :
Une
chose est certaine, il n'est pas nécessaire de connaître G pour étudier le
mouvement des planètes. Les cours qui suivent montreront que seule est
importante la constante de gravitation de l'astre central, c'est à dire le
produit m = GM où M est la masse du corps central.
De plus la masse du corps attiré disparaît dans les équations, il est donc
illusoire de vouloir calculer G en étudiant le mouvement de tel ou tel corps
autour du Soleil. La masse d'un corps ne peut être mise en évidence que s'il
perturbe le mouvement d'un troisième corps autour d'un astre central. D'où de
grosses difficultés pour évaluer G.
Gravité en un point intérieur à la
Terre ?
C'est
une question rarement traitée qui réserve une surprise.
Précisons
les hypothèses, celles d'une sphère parfaitement ronde et homogène. On
appellera g l'accélération de la gravitation en un poit interne à la distance r
du centre; go désignera l'accélération de la
gravitation au niveau du sol.
On
peut raisonner sans faire de figure, en considérant une sphère S, de volume V,
de rayon r centrée au centre Terre.
Théorème de
Gauss : Voir
dans Wikipêdia ou http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/documents/Champ-de-gravitation.pdf
" Le flux du vecteur g à travers la
surface S est égal à l'intégrale des masses contenues dans le volume V, multipliée
par - 4pG". Cette loi est
l'adaptation du théorème de Gauss en électromagnétisme.
Curieux résultat
donnant ( sous les hypothèses d'homogénéité ) une loi linéaire suivant le rayon
Le lecteur
curieux pourra s'intéresser à la gravimétrie à https://www.geoazur.fr/GLOBALSEIS/stehly/cours/L2_STE_gravi/TD2_enonce.odt
a)
CAVENDISH "pèse" la Terre ?
Aussi
étonnant que cela puisse paraître, Cavendish réalise une expérience pour évaluer
la densité moyenne de la Terre, ce qui revient à la peser, au sens du calcul de
sa masse.
Avec
la gravitation et la notion d'accélération introduite par Newton avec la loi
fondamentale ( F = ma ), la valeur de g, accélération de la pesanteur est maintenant
bien connue et vaut sensiblement près du sol ( avec des notations évidentes ):
Il
parait clair que G n'étant pas connue, MT n'est pas accessible.
C'est bien là le problème.
Comment Cavendish s'y prend il ?
Loin
de moi l'idée de décrire en détail le montage et les qualités requises pour
parvenir au résultat. La seule idée qui compte est que pour calculer la masse MT
de la Terre, il fallait lui faire exercer par une masse autre que lla Terre,
une force attractive sur un système bien choisi, pour créer un déplacement
mesurable et déduire de cette mesure la masse de la Terre.
Le
secret est un PENDULE DE TORSION DE GRANDE SENSIBILITE, parce que
la gravitation avec des masses humainement réalisables est très faible. Voici
donc ce montage simple:
On
note F la force gravitationnelle entre la masse M et m, q la déviation angulaire du pendule, K sa constante de
torsion, r la distance de la masse m au centre de la sphère de masse M, RT
le rayon de la Terre.
On
peut alors exprimer (le lecteur fera les calculs), à partir de la mesure de q, et sans connaître la constante G, la masse de la
Terre, par :
Cavendish
trouve une densité de la Terre de 5.48 ce qui est très proche de la réalité
avec une erreur de seulement 1.4 %. De là, on peut en déduire une estimation de
la constante G, en revenant à la formule du poids.
Depuis
de nombreuses expérimentations ont eu lieu pour déterminer avec grande
précision la valeur de G ert actuellement la valeur admise est :
G = 6.67407 10-11 m3kg-1
s-2 à 3 10-5 près
II GRAVITATION ET RELATIVITE JUSQU'AUX TROUS NOIRS :
En
résumant très brutalement l'évolution de la pensée scientifique et de
l'astrophysique , on a assisté au développement de 3 grandes théories de
l'espace et du temps.
1°)
La théorie newtonienne où le temps "se déroule"
linéairement, sans aucun lien avec les phénomènes physiques dont il modifie le
comportement, dans un espace euclidien où la distance entre 2 ppoints ne dépend
que des coordonnées de ces 2 points. L'élément de longueur ne concerne que la
distance euclidienne au sens commun et vaut :
L'expérience
de Michelson sur la vitesse de la lumière et son invariance dans des
référentiels en translation uniforme a sonné le glas de la théorie mécanique de
Newton, du moins pour les mouvements à grande vitesse.
2°)
La relativité restreinte ( relativité limitée aux référentiels en
translation uniforme ) apporte une solution au problème précédent, par la
création d'un espace temps à 4 dimensions où le temps devient une variable
comme une autre. Le mathématicien Minkowski en introduit une longueur spéciale
, appelé élément linéaire de temps propre, avec un nouveau ds² appelé temps
propre, où la distance euclidienne perd son sens :
c
est la vitesse de la lumière, x, y, z les coordonnées d'espace et t le temps
absolu dans le référentiel. Un autre aspect de la formule est obtenu en posant
ds = cdt* où dt* est le temps de la particule en mouvement. On a alors :
relation
dans laquelle on constate que le temps propre t* est d'autant plus court que la
particule va vite ( c'est le paradoxe des jumeaux : celui qui est dans un
vaisseau spatial vieillit moins vite que celui qui l'observe depuis la Terre )
Dans
ce cadre la gravitation reste newtonienne et n'interagit pas avec la lumière.
Par contre un photon dans le vide, a un temps propre nul.
3°)
La relativité générale :
Einstein
n'a eu de cesse d'intégrer la gravitation dans sa théorie de la relativité
devenue générale et a introduit un nouveau concept révolutionnaire et inouï de
la notion d'espace. L'espace ne préexiste pas aux objets et ce sont les masses
qui le façonnent par leur présence. Les masses modifient la structure
topologique l'espace-temps environnant. C'est la fameuse notion de
"courbure" de l'espace au voisinage des masses.
Loin
de moi l'idée d'expliquer la relativité générale qui dépasse largement mon
entendement. Einstein a donc été amené à introduire une nouvelle façon de
calculer la distance élémentaire ou encore le temps propre dans l'espace-temps.
Avec l'aide du mathématicien Schwarzchild, dans le cas important d'une masse à
répartition homogène sphérique ( cas capital en pratique ), ils ont obtenu,
exprimé en coordonnées sphériques et VALABLE UNIQUEMENT DANS LE VIDE HORS DU
VOLUME SPHERIQUE ENGLOBANT LA MASSE GAVITATIONNELLE M , calculs exacts :
a)
On vérifie aisément qu'en l'absence de masse M, on retrouve le ds² de la
relativité restreinte.
b)
SINGULARITES :
Il
saute aux yeux que pour une masse supposée ponctuelle, une singularité apparaît
pour r ----> 0. Ce n'est pas dramatique car dans le modèle newtonien de la
gravitation il en était déjà de même.
Il n'en
va pas de même de la singularité dite de Scharwzchild, lorsque r tend vers une
valeur critique R:
En
effet si la masse M est concentrée dans un volume sphérique de rayon R <
2GM/c², alors la traversée, toujours dans le vide de cette barrière extérieure
à la masse pose un problème qui paraît insurmontable et injustifiable. Au
départ cette limite hors de la sphère massique a été problématique.
Tout
d'abord, prenons le cas d'une masse M = 6 1024 kg, celle de la Terre
par exemple, quel serait le rayon critique? Le calcul donne R=8.85 mm, pour une
densité de 2 1030 kg/dm3 ou encore 2000 milliards de
milliards de milliards de kg au dm3. Un tel corps stellaire semblait
ne pas pouvoir exister, jusqu'à la découverte des TROUS
NOIRS et à un degré moindre de densité des ETOILES A NEUTRONS.
A
partir de là, la deuxième formulation de c en fonction de R, montre que la VITESSE
DE LIBERATION de l'attraction du trou noir, est pour un rayon r < R plus
grande que la vitesse de la lumière. Donc aucun photon ne peut sortir du
trou noir, qui porte donc bien son nom. Les rayons lumineux restent confinés
dans la sphère de rayon critique R. Une image peut
être donnée de rayons partant du fond du trou, montant et se courbant tellement
qu'il reviennent dans le trou qui les garde prisonniers.
R s'appelle donc l'HORIZON DU
TROU NOIR. Ce qui se passe dehors est visible, ce qui se passe dedans
ne l'est pas.
C'est
pour montrer cet aspect des choses que j'ai effleuré la relativité générale en relation
avec la gravitation, qui est le sujet important de ce site.
c)
CONFIRMATIONS DE LA COURBURE DE l'ESPACE AU VOISINAGE DES MASSES :
Toutes
les revues scientifiques publient régulièrement des articles concernant les
lentilles gravitationnelles, constituées d'amas de galaxies qui courbent
l'espace autour d'elles au point de dévier la lumière et de gréer des images
virtuelles d'étoiles très lointaines situées derrière elles.
Bien
d'autres effets ont naturellement été mis en évidence, que je n'ai pas l'audace
d'expliquer ici, mais qui constituent la base des articles des revues de
vulgarisation scientifique.
d)
RELATIVITE ET GPS :
Le
système GPS est naturellement utilisé au voisinage de la Terre qui est un corps
massif, dont la présence gravitationnelle modifie l'espace environnant.
Le
temps propre en orbite est donc légèrement différent du temps de l'utilisateur
au sol. De combien? De l'ordre du demi milliardième de seconde, en moins toutes
les secondes.
En
effet, prenons une orbite circulaire d'altitude GPS actuelle, Z= 20184 km,
alors sur orbite circulaire plane dr=dj=0
et en posant ds²=c²dt*² on a le temps propre en orbite :
C'est
bien sûr petit, mais pour un signal à 300000 km/s cela donne un écart de
distance de 15 cm. Comme ce retard de l'horloge de bord est cumulatif on
conçoit qu'après un tour d'orbite, soit environ 1 h 30 mn, l'écart puisse
devenir conséquent de l'ordre de 810 m.
Le
système GPS tient donc compte de l'interaction relativiste masse de la
Terre/Signal.
C'est
Einstein qui pose comme principe de base de sa théorie de la relativité
générale qu'une la masse inertielle ( celle de la mécanique qui relie force et
accélération F=MG ) et la masse gravitationnelle
celle qui intervient dans le calcul de la force de gravitation sont identiques.
La
conséquence capitale est que la masse d'un corps n'intervient pas dans les
équations du mouvement dans un champ gravitationnel. La chute d'un corps est
universelle et ne dépend pas de la nature de ce corps.
Ce
PRINCIPE D'EQUIVALENCE a donné lieu et donne lieu toujours à des vérifications
de plus en plus sophistiquées. Actuellement, il est vérifié à 10-15
près et le sera bientôt à 10-18 près avec l'expérience du satellite
MICROSCOPE.
Voir aussi un exposé sur l'APESANTEUR et la MICROGRAVITE
NB
: Lire un article intéressant et surprenant sur la redéfinition du kilogramme
étalon, dans POUR LA SCIENCE N° de Mars 2007
IV LES DOUTES SUR LA GRAVITATION
AUX GRANDES DISTANCES ? :
THEORIE MOND : Pour Modified Newtonian Dynamics
Article
tiré d'un dossier hors série de "POUR LA SCIENCES" (octobre -
décembre 2004), sur lequel je n'ai pas de point de vue, tant la question est
difficile.
1°)
Origine du doute:
Les
lois de la mécanique et de la gravitation newtonienne ont fait la preuve
éclatante de leur efficacité. Cependant en astronomie et cosmologie, avec les
masses connues des galaxies et de leur contenu, le mouvement des étoiles
éloignées du centre de la galaxie ne répond pas aux lois classiques. En
particulier, la vitesse des étoiles éloignées du centre
galactique, qui devait diminuer avec la distance, reste quasiment constante.
Il
y a divergence et certains cosmologistes ont donc "inventé" une masse
invisible dite noire qui serait responsable des écarts constatés.
Pour
pallier cette introduction d'une matière nouvelle non encore identifiée, en
1980 il a été proposé de modifier la loi fondamentale de la mécanique avec sa
relation de proportionnalité accélération et force.
2°)
Nouvelle loi proposée:
Il
est introduit une nouvelle constante universelle notée ao, telle que
:
-
Si l'accélération est très supérieure à ao, la loi de Newton
s'applique
-
Si l'accélération est petite devant ao, la loi de Newton ne
s'applique plus et la force devient proportionnelle au carré de l'accélération.
Prenons
le cas simplifié d'une galaxie de masse M, suffisamment homogène et ramassée
sur elle-même, pour pouvoir assimiler sa gravitation à celle d'une masse
circulaire. Si une étoile très loin du centre, a un mouvement satisfaisant à
MOND, alors on a :
De
plus, en astronomie la relation de Tully-Fisher établie expérimentalement,
montre que la vitesse constante des étoiles périphériques d'une galaxie est
proportionnelle( pour une galaxie donnée ) à la racine quatrième de la
luminosité L de cette galaxie.
Or
la luminosité est expérimentalement proportionnelle à la masse de la galaxie.
Ceci
est donc bien établi par MOND, grâce aux 2 relations ci-dessus.
NB 1
:Effectivement en prédisant une force plus petite à grande distance, c'est
comme s'il y avait moins de masse et la masse noire n'est plus nécessaire.
NB2 : Pourquoi
pas, puisque avec Einstein la loi avait dû être revue pour les très grandes
vitesses.
NB 3 : Pourquoi
pas aussi, puisque pour les distances subatomiques, l'accord avec la mécanique
quantique ne s'est jamais réalisé.
NB 4 : Pour le
système solaire, il faudrait tester des corps à plus de 10000 UA, ce qui est
impossible. De manière générale les accélérations devraient être inférieures à
10-10 m/s².
3°)
Cette loi résiste-t-elle aux observations ?:
-
Les observations des vitesses des étoiles dans les bras des galaxies spirales
confirment cette hypothèse
-
Autre confirmation, la vitesse est proportionnelle à la racine quatrième de la
luminosité, qui elle est proportionnelle à la masse, ce qui conduit à une
vitesse proportionnelle à la puissance quatrième de la masse, ceci est bien
validé par l'observation. Voir plus haut.
4°)
Ses insuffisances :
-
Pour les effets équivalents aux " lentilles gravitationnelles", sur
la lumière interagissant avec les champs gravitationnels galactiques, MOND ne
peut expliquer les phénomènes observés.
-
MOND ne peut s'intégrer dans l'immédiat à la théorie standard du
"Big-Bang"
La
théorie pour l'instant semble pas convaincre la communauté scientifique. Il
fallait quand même la signaler, car elle n'est pas inintéressante.
NB :{Article tiré d'un dossier hors
série de "POUR LA SCIENCES" (octobre - décembre 2004)}
Depuis
quelques années, la sonde Pioneer jette un doute sur la gravitation et la
relativité, par un comportement anormal.
En
effet la distance parcourue, maintenant pratiquement en ligne droite, aux
confins du système solaire, affiche un déficit régulier de l'ordre de 2.5 10-5
par rapport à la route calculée avec une extrême précision.
Rien
des forces connues ne pouvant expliquer ce retard, les astrophysiciens
cherchent donc le coupable du côté de la gravitation. Affaire à suivre? Voir plus haut la théorie MOND
Lire
Science et Vie N° 1072 de janvier 2007
Guiziou Robert décembre 2004, revu 2007, sept 2011, mars 2012